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综合馆
知识点津

1.向量的加法运算

1)向量的和:已知向量ab,在平面内任取一点A,作来自万方数据中小学数字图书馆来自万方数据中小学数字图书馆,则向量来自万方数据中小学数字图书馆叫做来自万方数据中小学数字图书馆来自万方数据中小学数字图书馆的和,记作来自万方数据中小学数字图书馆,即来自万方数据中小学数字图书馆=来自万方数据中小学数字图书馆

2)向量的加法:求两个向量和的运算.

3)对于零向量与任一向量a,有来自万方数据中小学数字图书馆来自万方数据中小学数字图书馆

4)向量的加法满足交换律与结合律,即来自万方数据中小学数字图书馆来自万方数据中小学数字图书馆

5)向量加法运算的几何意义:

①向量加法的三角形法则:如图1,根据定义,来自万方数据中小学数字图书馆;②向量加法的平行四边形法则:如图2,以同一点A为起点的两个已知向量ab为邻边作来自万方数据中小学数字图书馆,则以A为起点的对角线来自万方数据中小学数字图书馆就是ab的和.

来自万方数据中小学数字图书馆来自万方数据中小学数字图书馆

2.向量的减法运算

1)向量ab的差:向量a加上b的相反向量叫做ab的差,即来自万方数据中小学数字图书馆

2)向量的减法:求两个向量差的运算.

3)向量减法运算的几何意义:如图3,已知向量ab,在平面内任取一点来自万方数据中小学数字图书馆,作来自万方数据中小学数字图书馆来自万方数据中小学数字图书馆,则来自万方数据中小学数字图书馆,即来自万方数据中小学数字图书馆可以表示从向量来自万方数据中小学数字图书馆的终点指向向量来自万方数据中小学数字图书馆的终点的向量.(可简记为:共起点,连两终点,指向被减向量的终点).

来自万方数据中小学数字图书馆

3.向量的数乘运算

1向量的数乘:实数来自万方数据中小学数字图书馆与向量来自万方数据中小学数字图书馆的积是一个向量,它的长度与方向规定如下:

来自万方数据中小学数字图书馆

②当来自万方数据中小学数字图书馆时,来自万方数据中小学数字图书馆的方向与来自万方数据中小学数字图书馆的方向相同;当来自万方数据中小学数字图书馆时,来自万方数据中小学数字图书馆的方向与来自万方数据中小学数字图书馆的方向相反.特别地,当来自万方数据中小学数字图书馆时,来自万方数据中小学数字图书馆

2)设来自万方数据中小学数字图书馆为实数,来自万方数据中小学数字图书馆为向量,则有来自万方数据中小学数字图书馆

来自万方数据中小学数字图书馆

来自万方数据中小学数字图书馆(第一分配律);

来自万方数据中小学数字图书馆(第二分配律);

特别地,有来自万方数据中小学数字图书馆来自万方数据中小学数字图书馆

来自万方数据中小学数字图书馆

4.向量共线的条件

如果来自万方数据中小学数字图书馆来自万方数据中小学数字图书馆共线,那么有来自万方数据中小学数字图书馆且只有来自万方数据中小学数字图书馆一个实数来自万方数据中小学数字图书馆,使来自万方数据中小学数字图书馆.即来自万方数据中小学数字图书馆,(来自万方数据中小学数字图书馆唯一确定).

能力拓展

1.(1)向量加法的三角形法则,既适用于两向量不共线,也适用于两向量共线.而平行四边形法则只适用于两向量不共线,当两向量共线时,平行四边形法则就不适用了.但在处理某些问题时,平行四边形法则有来自万方数据中小学数字图书馆它一定的优越性.因此两种法则都应熟练掌握.

2)两个向量的和仍是一个向量.

①当向量ab不共线时,来自万方数据中小学数字图书馆的方向与ab都不相同,且来自万方数据中小学数字图书馆

②当向量ab同向时,来自万方数据中小学数字图书馆ab都同向,且来自万方数据中小学数字图书馆

③当向量ab反向时,若来自万方数据中小学数字图书馆,则来自万方数据中小学数字图书馆的方向与来自万方数据中小学数字图书馆相同,且来自万方数据中小学数字图书馆;若来自万方数据中小学数字图书馆,则来自万方数据中小学数字图书馆的方向与b相同,且来自万方数据中小学数字图书馆;若来自万方数据中小学数字图书馆,则来自万方数据中小学数字图书馆.总之,一般地,若来自万方数据中小学数字图书馆

2.(1)两个向量的差仍是一个向量;(2)要注意向量加法运算的三角形法则与减法运算的三角形法则的区别;(3)由向量的加、减法,可以得出两个常用的结论:

①首尾顺次相接的向量构成封闭的向量链

时,各向量的和为来自万方数据中小学数字图书馆,即:来自万方数据中小学数字图书馆

②平行四边形来自万方数据中小学数字图书馆中,有来自万方数据中小学数字图书馆来自万方数据中小学数字图书馆来自万方数据中小学数字图书馆

3.向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量来自万方数据中小学数字图书馆,以及任意实数来自万方数据中小学数字图书馆,恒有来自万方数据中小学数字图书馆来自万方数据中小学数字图书馆

4两个向量共线定理:向量来自万方数据中小学数字图书馆与非零向量来自万方数据中小学数字图书馆共线来自万方数据中小学数字图书馆来自万方数据中小学数字图书馆且只有来自万方数据中小学数字图书馆一个实数来自万方数据中小学数字图书馆,使得来自万方数据中小学数字图书馆=来自万方数据中小学数字图书馆

5.渗透数形结合思想、转化思想.

6.常与向量的坐标表示、平面向量基本定理以及向量的数量积相联系考查.

经典题目

1.(2011·四川高考)如图,正六边形来自万方数据中小学数字图书馆中,来自万方数据中小学数字图书馆(    ).

A.0       B. 来自万方数据中小学数字图书馆      C. 来自万方数据中小学数字图书馆      D.来自万方数据中小学数字图书馆

来自万方数据中小学数字图书馆

答案与解析

2.(2009·山东高考)设P是△ABC所在平面内的一点,来自万方数据中小学数字图书馆,则(   )

A.来自万方数据中小学数字图书馆    B.来自万方数据中小学数字图书馆    C.来自万方数据中小学数字图书馆   D.来自万方数据中小学数字图书馆

答案与解析

来自万方数据中小学数字图书馆

3.(2009·海南高考)如图, D,E,F分别是来自万方数据中小学数字图书馆ABC的边AB,BC,CA的中点,则(   )

A.来自万方数据中小学数字图书馆

B.来自万方数据中小学数字图书馆

C.来自万方数据中小学数字图书馆

D.来自万方数据中小学数字图书馆                                       

答案与解析

4.(2011·山东高考)设来自万方数据中小学数字图书馆来自万方数据中小学数字图书馆来自万方数据中小学数字图书馆来自万方数据中小学数字图书馆是平面直角坐标系中两两不同的四个点,若来自万方数据中小学数字图书馆 (λ∈R),来自万方数据中小学数字图书馆(μ∈R),且来自万方数据中小学数字图书馆,则称来自万方数据中小学数字图书馆来自万方数据中小学数字图书馆调和分割来自万方数据中小学数字图书馆来自万方数据中小学数字图书馆 .已知点C(c,o),D(d,O) (c,d∈R)调和分割点A(0,0),B(1,0),则下面说法正确的是(    )

A.C可能是线段AB的中点   

B.D可能是线段AB的中点

C.C,D可能同时在线段AB上 

D.C,D不可能同时在线段AB的延长线上

答案与解析

5.设两个非零向量来自万方数据中小学数字图书馆来自万方数据中小学数字图书馆不共线,如果来自万方数据中小学数字图书馆,来自万方数据中小学数字图书馆来自万方数据中小学数字图书馆,

求证:来自万方数据中小学数字图书馆三点共线.

答案与解析

易错点提示

易错点1  向量共线的条件

来自万方数据中小学数字图书馆.否则来自万方数据中小学数字图书馆来自万方数据中小学数字图书馆时,来自万方数据中小学数字图书馆就不存在了;②此条件是由向量的数乘运算推出的,常用它证明几何中的三点共线和两直线平行的问题.但要注意直线平行与向量平行的区别.

易错点2 实施转化时的等价性

解题过程中的等价性一直是容易忽略的地方,如由来自万方数据中小学数字图书馆,学生会立即得到2A=2B,事实上还可以来自万方数据中小学数字图书馆

知识过关检测

1.在平行四边形ABCD中,点O是平面内一点,记来自万方数据中小学数字图书馆 来自万方数据中小学数字图书馆则下列运算正确的是(   )

A.来自万方数据中小学数字图书馆                   B.来自万方数据中小学数字图书馆

C.来自万方数据中小学数字图书馆                   D.来自万方数据中小学数字图书馆

答案与解析

2.设来自万方数据中小学数字图书馆是非零向量,则下列不等式中不恒成立的是(     )

A.来自万方数据中小学数字图书馆    B.来自万方数据中小学数字图书馆      C.来自万方数据中小学数字图书馆     D.来自万方数据中小学数字图书馆 3.若菱形ABCD的边长为2,则|来自万方数据中小学数字图书馆来自万方数据中小学数字图书馆来自万方数据中小学数字图书馆|________. 

答案与解析

3.若ab都是单位向量,则|ab|的取值范围是________

答案与解析